Magie del cerchio

La circonferenza, così semplice ed essenziale, è una figura ricchissima di possibilità geometriche come generatrice di innumerevoli altre curve. Partendo dal cerchio ci si può sbizzarrire nel costruire tante figure, scoprendo le proprietà nascoste e calcolandone le dimensioni. E' ciò che fecero gli antichi greci quando cominciarono lo studio della geometria.  I matematici del tempo rappresentarono oggetti di uso quotidiano: l’arbelo (antico trincetto da calzolaio) di Archimede, il fuso circolare (strumento base della pastorizia), la pelecoide (scure), la saliera di Archimede, il trifoglio, la drepanoide (falce), il triangolo a lati circolari e le celebri lunule (falce di luna) con le quali Ippocrate riuscì a realizzare la prima quadratura di un’area curvilinea. (Quadrare un’area curvilinea significa trovare un quadrato che abbia la stessa area della figura curvilinea).

Triangolo a lati circolari
Se abbiamo tre circonferenze che si toccano esternamente a due a due, si ricava un triangolo a lati circolari concavi formato dai tre archi minori di ogni circonferenza, compresi tra i punti di contatto delle altre due. 

Costruzione

Prototipo

La drepanoide

Prototipo

Il nome, dal greco, significa "a forma di falce"
Osservando la figura possiamo anche dire che si tratta di un triangolo curvilineo: il perimetro della drepanoide è costituito da due archi di circonferenza e una semicirconferenza.




La costruzione è molto semplice: si tracciano due circonferenze uguali tangenti esternamente.
Dai rispettivi centri si tracciano due raggi, AD e BC, paralleli e si uniscono gli estremi di questi sulle due circonferenze.
Si traccia poi una terza circonferenza che ha per diametro il segmento DC.
Si costruiscono quindi gli archi e la semicirconferenza come in figura: ne risulta un triangolo a lati curvilinei che costituisce il drepanoide.
La sua area equivale all'area del parallelogramma ABCD in figura.

Costruzione

La pelecoide
Pelecoide significa, in greco, “a forma di scure”.
Su diametro AB di una circonferenza (vedi immagine) si fissano due punti qualsiasi C e D, e si descrivono quattro semicirconferenze con diametri AC, AD, BC e BD, le prime due e le altre due parti opposte rispetto ad AB. La figura racchiusa da quattro semicirconferenze è la pelecoide: il suo perimetro è uguale alla lunghezza della circonferenza data, mentre la sua area sta all’area del cerchio di diametro AB come CD sta ad AB.

Prototipo

Costruzione

Il trifoglio

Prototipo

E’ una graziosa figura, costruita partendo da un triangolo equilatero, tracciando i tre archi passanti per il centro del triangolo e per due vertici.

 

Costruzione

L’area del trifoglio può essere calcolata come differenza tra la somma dei tre settori circolari costruiti sui lati del triangolo, e il triangolo stesso.



Il fuso circolare

Costruzione

Il fuso circolare è la figura ottenuta quando due circonferenze si secano: la parte comune ad esse è appunto il fuso. Si tratta dunque di una figura assai semplice, e ad essa gli antichi greci diedero il nome di uno strumenti base della civiltà pastorizia.

Prototipo

In questo modellino il fuso è ricavato da un quadrato, tracciando due archi di circonferenza interni al quadrato, con centro in due vertici opposti e raggio uguale al lato l del quadrato. L’area dl fuso circolare si ottiene come differenza tra la somma delle aree dei due settori circolari di 90° (quadranti di cerchio ) e l’area del quadrato stesso.





 L'arbelo di Archimede 

Prototipo

E’ la prima figura che prende il nome da oggetti di uso quotidiano ,in particolare da attrezzi da lavoro artigianali o contadino. Arbelo è in greco il trincetto da calzolaio. 
Sul diametro AB di un semicerchio (vedi immagine) si fissa un punto qualsiasi C, e si descrivono due semicirconferenze di diametri AC e CB, interne al semicerchio dato. La figura che ne risulta, limitata dalle tre semicirconferenze, è stata oggetto di considerazione da parte di Archimede.

 Una caratteristica dell’arbelo è che la lunghezza del contorno è uguale a quella della circonferenza di diametro AB. La sua superficie è equiestesa all’area del cerchio di diametro CD, ove D è il punto della circonferenza sulla perpendicolare ad AB in C.


La saliera di Archimede
Il "salinon" di Archimede si ottiene fissando sul diametro di un semicerchio due punti equidistanti dagli estremi. Si tracciano quindi i semicerchi aventi per diametro i segmenti ottenuti.
La figura racchiusa dalle quattro semicirconferenze è la saliera: la sua superficie è equiestesa all'area del cerchio con diametro EF (vedi immagine ) dove E ed F sono le intersezioni della perpendicolare in O ad AB con le due semicirconferenze concentriche.

Costruzione

Prototipo

Riferimenti bibliografici
Le curve celebri di Luciano Cresci




I prototipi sono stati realizzati in Mathland, la città della matematica costruita in opensim Second Learning World nel progetto "Didattica nei mondi virtuali"

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